مقایسه چگالی حالت ها در نیم رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی

مقایسه چگالی حالت ها در نیم رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی

مقدمه:

محققان زیادی در سراسر جهان، به مطالعه­ی نظری و آزمایشگاهی خواص ریزساختارهای اشتغال دارند. اگرچه حجم گزارش­ها از دستاوردهای آزمایشگاهی در مقایسه با تحقیقات بنیادی بسیار بیشتر است امّا با در اختیار گرفتن کامپیوترهای با قدرت پردازش بالا، مطالعات نظری در مورد نانوساختارها نیز در حال افزایش می­باشد. با وجود اینکه در این پایان­نامه، بیشتر بر کارهای آزمایشگاهی تمرکز شده، لیکن در ابتدای این فصل، یکی از مطالعات ساده نظری در مورد نانوساختارها یعنی “مقایسه چگالی حالت­ها در نیم­رساناهای سه، دو، یک و صفر بعدی” ارائه
می شود. سپس در ادامه، مبانی آنالیزهائی که در فصل­های آینده از آن­ها برای مطالعه خواص نانوذرّات بهره گرفته می­شود به طورخلاصه معرفی خواهند شد.

۱ محاسبه چگالی حالت­ها در نیم­رساناهای حجیم

هر الکترون با بردار موج و اسپین S می­تواند حالت­های ممکن انرژی که با نشان داده می­شوند را با احتمال بین صفر و یک اشغال کند. چون مطابق اصل طرد پائولی، هر حالت کوانتومی حدّاکثر توسط یک فرمیون اشغال می­گردد. تابع توزیع احتمال متناظر با این، توزیع مشهور فرمی دیراک است:

چون تابع توزیع به اسپین بستگی ندارد، می­توان نوشت. پارامتر پتانسیل شیمیائی است که در دمای صفر درجه با انرژی فرمی برابر است. در این دما تابع فرمی به صورت زیر تبدیل می­شود.

در صورتی که احتمال اشغال تمامی حالت­های ممکن با هم جمع شوند، به دلیل اینکه در هر حالت حدّاکثر یک الکترون می­تواند وجود داشته باشد، تعداد کلّ ذرّات N در سیستم برابر است با:

(۲-۱)

مقدار پتانسیل شیمیائی به گونه­ای است که در هر دما و انرژی، معادله­ی بالا صادق ­باشد. چگالی حالت­ها را می­توان با کاربرد معادله­ی شرودینگر برای الکترون­های غیر اندرکنشی به دست آورد.

جواب این معادله برای الکترون­های آزاد در یک شبکه تناوبی به حجم به صورت زیر است:

با اعمال شرایط تناوبی “بورن ون کارمن[۱] “[۸۱]

مقادیر بردارهای موج و ویژه مقادیر انرژی به صورت زیر به دست می­آید:

(۲-۲)

که مقادیر را اختیار می­کنند. از آنجا که بازه­ی بین دو مقدار مجاز بردار موج برابر است()، در این صورت حجمی از فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای داده(شکل۲-۱) برابر است با

(۲-۳)

شکل۲-۱ )نمائی از حجم­های فضای وارون که حتماً یک نقطه را در خود جای ­داده­اند.

از طرف دیگر می­توان را به صورت روبرو نوشت:

با جانشینی از رابطه ۲-۳ رابطه­ی زیر به دست می­آید:


[۱] Born-von Karman

خرید فایل